数学家李晔。

李烨（1192-1279），原名李烨，字仁青，出生于栾城（今河北省石家庄市栾城区），名京寨。金元时期的数学家。金正大金石统治末期，他建立了一个称为君州的国家。据说李冶原名李治。由于朝廷禁止平民使用与古代皇帝相同的名字，而他的名字与唐高宗的名字相同，因此他在减去一个点后改名为李晔。

李晔对数学的主要贡献是天元法（建立未知平行方程的方法），该方法用于研究直角三角形内接圆和外接圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰一起被称为“宋元四大数学大师”。他写了一本测量海镜圆的数学著作。

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李烨年轻时很聪明，喜欢读书。他在原石县（现河北省原石县）学习，对数学和文学非常感兴趣。《元代名臣述略》说：“百姓（指李冶）从小读书，从不放下书，天性聪慧开明，有成人的风范。”

他父亲的正直和勤奋精神影响了李业深。在李烨看来，知识比财富更有价值。他说：“有技巧总比积累数百万美元好。”他还说：“虽然黄金和玉石很珍贵，但很难省钱。知识隐藏起来就足够了。”十几岁时，他对文学、历史、数学和儒家经典很感兴趣。他和他的好朋友袁浩文一起出去学习。他向文学专家赵炳文和杨云怡学习。不久，他就出名了。

1230年，李晔被洛阳市聘为词赋学者。正大七年（1230），李冶赴洛阳考取词赋，考取词赋。当时，人们称赞他为“儒家学者和著名作家”。同年，他获得了高陵（今陕西高陵）总簿记员的职位，但蒙古窝阔台军入侵陕西，因此他没有就职。然后，他被调到位于扬寨附近的峻州（现河南蔚县）担任省长。他诚实正直。

1232年，君州城被蒙古军队占领。李烨不愿投降，只好换上便衣，在北方渡黄河避难。这是他一生中的一个重要转折点，近50年的学术生涯开始了。

穿越北方后，李冶在山西省新县和古县之间徘徊，过着“饥寒交迫”的生活。一年后（1233年），汴京（现河南开封）陷落。袁浩文也离开北京到山西避难。1234年初，金朝最终被蒙古国摧毁。李烨和袁浩文都觉得政治上无事可做，所以他们都致力于学习。流亡一段时间后，李烨定居在铜川、孤山（现山西省孤山县）。

金朝的灭亡给李烨的生活带来了不幸，但由于他不再是一名官员，客观上给了他足够的时间进行科学研究。他在铜川的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文学、哲学和医学。其中，最有价值的作品是《天元技法》的全面总结，也是数学史上不朽的杰作——《测量海镜的圆》。他的工作条件很艰苦。他的起居室不仅很小，而且他还经常得跑去买食物和衣服。但他喜欢写书，从不停止写作。据《镇定县志》记载，李烨“集书封书，百姓难以忍受”，但“他是如此慷慨”。他的一个学生焦扬智说：“虽然他不能忍受饥饿和寒冷，但他并不在乎。”在“流亡的突然衰落”中，他“一天都没有放弃自己的事业”。经过多年的努力，李冶的《圆海镜》终于于1248年完成。这是中国现存最早的一本关于天元书的书。

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所谓天元法，就是用数学符号建立方程式的一种方法。“立天元一为XX”相当于今天的“立x为XX”。在中国，方程式的思想可以追溯到汉代的《算术九章》，其中通过书面描述建立了一个二次方程式，但没有明确的未知数概念。到了唐代，王晓彤已经能够列出三次方程式，但他仍然用文字描述它们，他还没有掌握公式化的一般方法。通过北宋贾贤和刘毅的工作，解决了高阶方程的正根问题。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种通用的方法来建立方程。天元术产生于北宋。董源和施新道都是天元技法的先驱。然而，直到李烨，天元技术仍然相对幼稚，标记混乱复杂，计算繁琐。例如，在东平（现山东省东平县）获得的《天元术计算书》中，李烨不知道如何使用统一符号来表示未知数的不同幂。它“用19个字符来标识未知数字的上下两级，即仙人、明、肖、汉、雷、层、高、上、天、人、地、下、减、落、死、春、暗、鬼。”也就是说，“人”这个词代表常量，“人”上面的词代表未知的每一种正能量（最高的是九），下面的词代表未知的每一种负能量（最低的也是九）。操作的复杂性显而易见。根据《钟经》等早于《量圆海镜》的书籍，天元术的作用仍然十分有限。

李烨在前人的基础上，将天元技法改进为一种更简单、更实用的方法。当时，除了《钟经》之外，北方还出版了许多算术书籍，如《赵旦》、《儒记世说》、《再追踪》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件。特别值得一提的是，他从铜川东源那里获得了一本计算书，其中包含了九客理论，并侧重于共谋和包容问题。这本书给了他很多启发。为了全面深入地研究天元术，李烨将毕达哥拉斯包含圆（即切线圆）问题作为一个系统进行了研究。他讨论了在各种条件下用天元法求圆的问题，写了十二卷《测量海镜的圆》，这是他一生中最大的成就。

　　

测地镜

“测量海镜的圆”不仅保留了给出了计算直角三角形内切圆直径的九种方法——东源九荣公式，以及一些新的计算圆直径的公式。第1卷中的“识别注释”阐明了圆形城市模式中毕达哥拉斯形状的边长之间的关系，以及它们与圆形直径之间的关系。有600多条，每一条都可以看作一个定理（或公式）。这一部分是对毕达哥拉斯在中国古代圈子中的包含问题的总结。以下几卷练习可以在“辨杂注”的基础上，以天元手法为工具推演。李晔总结了一套简洁实用的天元技术程序，给出了将分数阶方程转化为积分方程的方法。他发明了减号和一组高级十进制记数法，使用从0到9的完整数字。除此之外，数字自古以来就存在，这是融资的一种反映。然而，当芯片中存在o空位时，没有符号o。从现存的古代算术书籍来看，李晔的《测海镜圆》和秦九韶的《数数数九掌》使用时间较早，完成时间不超过一年。“测量海镜”侧重于方程的推导，不涉及方程的求解。然而，在这本书中，许多高阶方程（多达六次）是通过天元技术推导出来的，并且给出的根都是精确的。由此可见，李晔已经掌握了高阶方程的数值解。

《量圆海镜》不仅是我国现存最早的天元书作品，而且在风格上也有所创新。整本书基本上是一个演绎系统。第1卷包含理解这些问题所需的定义、定理和公式。以天元技术为工具，可以在此基础上得出以下各卷中问题的解决方案。李烨以前的计算书一般采用习题集的形式，每章（卷）的内容一般都是并列的。李晔用演绎法写书，这是中国数学史上的一个进步。

“量海镜圆”的完成，标志着天元技术的成熟，对后世影响深远。元代王训、郭守敬在编撰计时历法的过程中，运用天元法计算天空的弧度。很快，sakesh用天元技术解决了水利工程中的问题，并收到了良好的效果。元代伟大的数学家朱世杰说：“天元发展和激活明朝源头的努力节省了好几倍。”清代阮元说：“创立天元的人是古代数学家的秘术，而创立海经的人是中国数学的宝库。”